Los elementos básicos visuales (Parte I)

 Punto

El punto es el elemento de expresión plástica de menor tamaño, y aunque estemos habituados a entender que un punto es redondo, en realidad se puede representar con formas distintas según su función. 

Los puntos se pueden agrupar o aumentar su tamaño, ocupando mayor espacio y produciendo una sensación visual de concentración o mayor densidad, y alejar o disminuir su tamaño con lo que se consigue un efecto de dispersión o menor densidad. También pueden situarse de manera ordenada o variando su dirección, creando composiciones más o menos dinámicas. Variando adecuadamente los tamaños, las formas y los colores de los puntos, podemos crear una sensación visual de profundidad. Los puntos más pequeños parecen estar más lejanos y los grandes parecen situarse en primer plano. Todas estas variantes permiten a los artistas expresar sus ideas y emociones. 

De izquierda a derecha: La Parade (detalle),G. P. Seurat, 1889 - El nacimiento de OP art, V. Vasarely, 1973 - Girl with tears 3, R. Lichtenstein, 1977

Línea

La línea surge de la realización de un trazo continuo sobre  la superficie. Es el punto en movimiento. Estos trazos tienen distintas características, como su extensión (línea corta o larga), su grosor (líneas gruesas o delgadas), su forma (líneas rectas, onduladas, curvas, etc). Cuando el trazado de una línea es igual en todo su recorrido se la llama homogénea, si el grosor se va modificando, se la llama enfatizada. Cuando se cierra se establece una forma.

Hay varios tipos de líneas:

• Lineas simples:

• La horizontal (tono es estático, transmite tranquilidad).

• La vertical (transmite fuerza, sensación de ascensión).

• La oblicua (transmite inestabilidad, cuando parte del mismo punto da la sensación de profundidad).

• La curva (transmite movimiento, nunca es estática).

• Líneas compuestas: 

• La  quebrada, compuesta de fragmentos de líneas rectas.

• La ondulada, compuesta de fragmentos de líneas curvas.

• La mixta, compuesta de fragmentos de líneas rectas y curvas.

De izquierda a derecha: Juego en el agua, P. Klee, 1935 - Red Rayonism, M. Larionov, 1913

Plano

Cualquier superficie de dos dimensiones (altura y anchura) es un plano y es otro elemento del lenguaje visual con gran poder expresivo. Los podemos representar mediante una línea de contorno, mediante una forma con color pero sin línea de contorno, o también mediante una forma  o superficie con textura. A través del plano se pueden transmitir sensaciones visuales, como volumen, claroscuro, lejanía o cercanía, superposición, etc.; por ello, los artistas lo utilizan como parte fundamental en sus obras.

Tipos de planos: 

• Los regulares que son geométricos, y tienen sus lados y sus ángulos iguales. 

• Los irregulares que presentan diferencias en la medida de sus lados y ángulos.

• Los geométricos que responden a unas leyes matemáticas. Las formas planas básicas son: el cuadrado, el triángulo y el círculo. 

• Los orgánicos dónde el contorno está formado por líneas curvas.

De izquierda a derecha: Composición con amarillo, rojo y azul. Piet Mondrian, 1934 - Proun 19D,E. Lissitzky, 1922

El problema de Lemoine

 

El problema de Lemoine

En matemáticas, el problema de Lemoine es un problema de construcción en la geometría del plano elemental planteado por el matemático francés Emile Lemoine en 1868. El problema fue publicado como Pregunta 864 en Nouvelles Annales de Mathématiques (Serie 2, Volumen 7 (1868), p 191). 

El principal interés en el problema es una discusión sobre la solución del problema por Ludwig Kiepert publicada en Nouvelles Annales de Mathématiques (serie 2, Volumen 8 (1869), pp 40–42) que contenía una descripción de una hipérbola que ahora se conoce como la hipérbola Kiepert.

El problema

La pregunta publicada por Lemoine plantea el siguiente problema de construcción:

Dado un vértice de cada uno de los triángulos equiláteros colocados en los lados de un triángulo, construya el triángulo original.

La solución de Ludwig Kiepert

Kiepert establece la validez de su construcción probando algunos lemas. 

Problema:

A1, B1, C1 son los vértices de los triángulos equiláteros colocados en los lados de un triángulo ABC. Dado A1, B1, C1 halla el A, B, C.

Lema 1:

Si en los tres lados de un triángulo arbitrario ABC, uno describe triángulos equiláteros ABC1, ACB1, BCA1, entonces los segmentos de línea AA1, BB1, CC1 son iguales, coinciden en un punto P, y los ángulos que forman entre sí son iguales a 60o.

Diagrama que ilustra el lema 1.

Lema 2:

Si en A1B1C1 uno hace la misma construcción que en ABC, habrá tres triángulos equiláteros A1B1C2, A1C1B2, B1C1A2, tres segmentos de línea iguales A1A2, B1B2, C1C2, que también concurrirán en el punto P.

Lema 3:

A, B, C son respectivamente los puntos medios de A1A2, B1B2, C1C2.

Solución:

• Describa en los segmentos A1B1, A1C1, B1C1 los triángulos equiláteros A1B1C2, A1C1B2, B1C1A2, respectivamente.

• Los puntos medios de A1A2, B1B2, C1C2 son, respectivamente, los vértices A, B, C del triángulo requerido.

Diagrama que ilustra la solución de Ludwig Kiepert al problema de Lemoine.

CÓNICAS: "Las curvas son los paréntesis de las ideas"

 

Identificando una cónica

Las cónicas aparecen espontáneamente en la naturaleza, y por sus propiedades y su belleza son muy utilizadas en la astronomía, la arquitectura y la física. Las órbitas de los cuerpos celestes, las antenas de satélites, los faros de los coches, las bóvedas, etc. son lugares donde aparecen diferentes cónicas. Todos los días dibujas elipses cuando bebes agua en un vaso. Porque lo inclinas, ¿verdad? Si juegas al baloncesto te gustarán mucho las parábolas. Y en la estación de metro ¿porque se oyen las conversaciones de algunas personas que están en el otro andén como si estuviesen al lado tuyo? Porque el que habla y el que escucha están cerca de los focos de una elipse. 

Las cónicas son figuras geométricas que se obtienen cuando hacemos la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Como podemos ver en la siguiente imagen, existen cuatro curvas cónicas, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, que dependen de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β).

• β=90º. El plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia. (rojo) 

• β>α. El plano se inclina ligeramente y se obtiene una elipse. (verde)

• β=α. El plano es oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz y se obtiene una parábola. (azul)

• β<α. El plano es oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, y se obtiene una hipérbola. Es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas. (naranja)

Definiciones

Circunferencia:

Es una línea curva, cerrada y plana, donde los puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro, es constante cuya distancia se le denomina radio.

Elipse: 

Dados dos puntos F y F´llamados focos, llamamos elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante.

Parábola:

La parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

Hipérbola:

Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

 

Para pensar...

1. Lewis Carroll, el matemático autor de “Alicia en el País de las Maravillas”, construyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué. 

 

2. A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el andén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica.

 Determinación del inverso de un punto. Estudio de construcciones.

Se da un cuadrado ABCD en el que A es el centro de inversión y el C es un punto doble. Determinar el inverso del punto B mediante tres construcciones diferentes. Analizar los conceptos usados en cada construcción geométrica propuesta. 

Usaremos tres conceptos anteriormente vistos para nuestras construcciones: 

 

1. Arco capaz 90o

2. Teorema del cateto

3. Concepto de la potencia

Solución 1

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

ARCO CAPAZ 90o:

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AC´ bajo 90o . Conocidos dos puntos de la circunferencia, A y C, tenemos una cuerda cuya mediatriz corta el diámetro en el centro (en este caso coincidente con B).

Solución 2

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

TEOREMA DEL CATETO:

En el triángulo rectángulo ACB´ se cumple que el cateto AC es media proporcional entre la hipotenusa AB´ y la proyección AB del cateto AC sobre ella.

Solución 3

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

POTENCIA:

Producto de la menor por la mayor distancia de un punto a la circunferencia, lo que es igual al cuadrado del segmento de tangencia del punto a la circunferencia. Considerando el punto B´ buscado y la circunferencia CPD de autoinversión, la potencia es B´C2=BC x BC´. Considerando el punto A y la circunferencia de inversión dada por los tres puntos A, B, C, la potencia es AC2=AB x AB´ (cierto por el teorema del cateto).

¿Crees que hay mas soluciones de este problema?

 Glosario básico de geometría

Ángulo central: Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. El ángulo en O es un ángulo central. 

Ángulo inscrito: Un ángulo está inscrito en una circunferencia si los dos lados del ángulo contienen los extremos de un arco y el vértice del ángulo es un punto en la circunferencia.   

Arco: Dados dos puntos A y B en una circunferencia, se llama arco a todos los puntos de la circunferencia que se encuentran entre los dos puntos dados.  

 

Baricentro: El baricentro es el punto de corte de las tres medianas de un triangulo. Divide cada mediana en dos segmentos. 

 

Bisectriz: La bisectriz es una recta que al pasar por un ángulo lo divide en dos partes iguales. geométricamente, los puntos de la bisectriz son paralelos, es decir tiene la misma distancia en las semirrectas de un ángulo. 

 

Circunferencia: La circunferencia con centro en O y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia r del punto O. 

 

Incentro: El Incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

 

Línea: Concepto geométrico no definido que posee una sola dimensión, la longitud, pero carece de anchura y espesor. Las líneas pueden ser rectas, curvas o combinar características de ambas. Una recta se denota designando dos de sus puntos con letras mayúsculas, o bien mediante una letra minúscula cerca de ella.  

 

Mediana: La mediana es el segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto que se conoce como baricentro o centro de gravedad. Las medianas se cortan siempre en un punto interior al triángulo.  

 

Mediatriz: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.

 

Plano: Es un concepto geométrico no definido. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Generalmente se designa con una sola letra mayúscula, a la cual puede preceder la palabra plano o tres de sus puntos no alineados.  

 

Punto: El punto es el primer elemento que no está definido en geometría, carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor. Se representa gráficamente por un pequeño circulo y una letra mayúscula que lo identifica. Por ejemplo punto A y punto B.  

 

Ortocentro: Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo. El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo.

  

 Reducción de problemas de geometría 

Hoy vamos a ver cómo solucionar dos problemas que prácticamente son el mismo:

1. Encuentra una circunferencia tangente a la recta r que pase por dos puntos A y B.

        

Trazamos una recta que une los dos puntos A y B, y corta la recta en el punto P. 

Hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde p hasta una circunferencia auxiliar que pase por los dos puntos del enunciado. Para ello trazaremos la mediatriz del segmento que los une y desde el punto medio trazaremos dicha circunferencia auxiliar. 

Trazamos la mediatriz entre P y la circunferencia auxiliar y desde dicha mediatriz M trazamos un arco de radio MP que corta a la circunferencia auxiliar en los puntos P1 y P2. 

Con centro en P y y radio P1 o P2 trazamos una circunferencia. Donde se corta la recta del enunciado levantamos perpendiculares. 

Donde estas cortan a la mediatriz del segmento que une a los puntos del enunciado se encuentran los centros O1 y O2 de las dos soluciones. 

Ya tenemos los dos centros y los dos puntos de tangencia necesarios para trazar las soluciones. 

2. Encuentra una circunferencia que pase por un punto P y sea tangente a dos rectas f y g.

         

Trazamos la bisectriz de las dos rectas y desde el punto P. 

 

Dibujamos una recta perpendicular a la bisectriz, y trazamos la circunferencia auxiliar con radio OP.  

Vamos a ver si a partir de aquí podéis seguir con la resolución del problema 2, teniendo en cuenta la solución 1. 

¿Cuáles son los cuatro puntos notables de un triangulo?

 

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. ¿Y cuáles son sus puntos notables?

Baricentro: El punto donde se cortan las medianas de un triángulo.

Ortocentro: El punto donde se cortan las alturas de un triángulo.

Circuncentro: El punto donde se cortan las mediatrices de los lados de un triangulo.

Incentro: El punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos de un triángulo.