El problema de Lemoine

 

El problema de Lemoine

En matemáticas, el problema de Lemoine es un problema de construcción en la geometría del plano elemental planteado por el matemático francés Emile Lemoine en 1868. El problema fue publicado como Pregunta 864 en Nouvelles Annales de Mathématiques (Serie 2, Volumen 7 (1868), p 191). 

El principal interés en el problema es una discusión sobre la solución del problema por Ludwig Kiepert publicada en Nouvelles Annales de Mathématiques (serie 2, Volumen 8 (1869), pp 40–42) que contenía una descripción de una hipérbola que ahora se conoce como la hipérbola Kiepert.

El problema

La pregunta publicada por Lemoine plantea el siguiente problema de construcción:

Dado un vértice de cada uno de los triángulos equiláteros colocados en los lados de un triángulo, construya el triángulo original.

La solución de Ludwig Kiepert

Kiepert establece la validez de su construcción probando algunos lemas. 

Problema:

A1, B1, C1 son los vértices de los triángulos equiláteros colocados en los lados de un triángulo ABC. Dado A1, B1, C1 halla el A, B, C.

Lema 1:

Si en los tres lados de un triángulo arbitrario ABC, uno describe triángulos equiláteros ABC1, ACB1, BCA1, entonces los segmentos de línea AA1, BB1, CC1 son iguales, coinciden en un punto P, y los ángulos que forman entre sí son iguales a 60o.

Diagrama que ilustra el lema 1.

Lema 2:

Si en A1B1C1 uno hace la misma construcción que en ABC, habrá tres triángulos equiláteros A1B1C2, A1C1B2, B1C1A2, tres segmentos de línea iguales A1A2, B1B2, C1C2, que también concurrirán en el punto P.

Lema 3:

A, B, C son respectivamente los puntos medios de A1A2, B1B2, C1C2.

Solución:

• Describa en los segmentos A1B1, A1C1, B1C1 los triángulos equiláteros A1B1C2, A1C1B2, B1C1A2, respectivamente.

• Los puntos medios de A1A2, B1B2, C1C2 son, respectivamente, los vértices A, B, C del triángulo requerido.

Diagrama que ilustra la solución de Ludwig Kiepert al problema de Lemoine.