CÓNICAS: "Las curvas son los paréntesis de las ideas"

 

Identificando una cónica

Las cónicas aparecen espontáneamente en la naturaleza, y por sus propiedades y su belleza son muy utilizadas en la astronomía, la arquitectura y la física. Las órbitas de los cuerpos celestes, las antenas de satélites, los faros de los coches, las bóvedas, etc. son lugares donde aparecen diferentes cónicas. Todos los días dibujas elipses cuando bebes agua en un vaso. Porque lo inclinas, ¿verdad? Si juegas al baloncesto te gustarán mucho las parábolas. Y en la estación de metro ¿porque se oyen las conversaciones de algunas personas que están en el otro andén como si estuviesen al lado tuyo? Porque el que habla y el que escucha están cerca de los focos de una elipse. 

Las cónicas son figuras geométricas que se obtienen cuando hacemos la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Como podemos ver en la siguiente imagen, existen cuatro curvas cónicas, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, que dependen de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β).

• β=90º. El plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia. (rojo) 

• β>α. El plano se inclina ligeramente y se obtiene una elipse. (verde)

• β=α. El plano es oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz y se obtiene una parábola. (azul)

• β<α. El plano es oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, y se obtiene una hipérbola. Es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas. (naranja)

Definiciones

Circunferencia:

Es una línea curva, cerrada y plana, donde los puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro, es constante cuya distancia se le denomina radio.

Elipse: 

Dados dos puntos F y F´llamados focos, llamamos elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante.

Parábola:

La parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

Hipérbola:

Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

 

Para pensar...

1. Lewis Carroll, el matemático autor de “Alicia en el País de las Maravillas”, construyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué. 

 

2. A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el andén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica.