Determinación del inverso de un punto. Estudio de construcciones.

Se da un cuadrado ABCD en el que A es el centro de inversión y el C es un punto doble. Determinar el inverso del punto B mediante tres construcciones diferentes. Analizar los conceptos usados en cada construcción geométrica propuesta. 

Usaremos tres conceptos anteriormente vistos para nuestras construcciones: 

 

1. Arco capaz 90o

2. Teorema del cateto

3. Concepto de la potencia

Solución 1

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

ARCO CAPAZ 90o:

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AC´ bajo 90o . Conocidos dos puntos de la circunferencia, A y C, tenemos una cuerda cuya mediatriz corta el diámetro en el centro (en este caso coincidente con B).

Solución 2

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

TEOREMA DEL CATETO:

En el triángulo rectángulo ACB´ se cumple que el cateto AC es media proporcional entre la hipotenusa AB´ y la proyección AB del cateto AC sobre ella.

Solución 3

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

POTENCIA:

Producto de la menor por la mayor distancia de un punto a la circunferencia, lo que es igual al cuadrado del segmento de tangencia del punto a la circunferencia. Considerando el punto B´ buscado y la circunferencia CPD de autoinversión, la potencia es B´C2=BC x BC´. Considerando el punto A y la circunferencia de inversión dada por los tres puntos A, B, C, la potencia es AC2=AB x AB´ (cierto por el teorema del cateto).

¿Crees que hay mas soluciones de este problema?

 Glosario básico de geometría

Ángulo central: Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. El ángulo en O es un ángulo central. 

Ángulo inscrito: Un ángulo está inscrito en una circunferencia si los dos lados del ángulo contienen los extremos de un arco y el vértice del ángulo es un punto en la circunferencia.   

Arco: Dados dos puntos A y B en una circunferencia, se llama arco a todos los puntos de la circunferencia que se encuentran entre los dos puntos dados.  

 

Baricentro: El baricentro es el punto de corte de las tres medianas de un triangulo. Divide cada mediana en dos segmentos. 

 

Bisectriz: La bisectriz es una recta que al pasar por un ángulo lo divide en dos partes iguales. geométricamente, los puntos de la bisectriz son paralelos, es decir tiene la misma distancia en las semirrectas de un ángulo. 

 

Circunferencia: La circunferencia con centro en O y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia r del punto O. 

 

Incentro: El Incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

 

Línea: Concepto geométrico no definido que posee una sola dimensión, la longitud, pero carece de anchura y espesor. Las líneas pueden ser rectas, curvas o combinar características de ambas. Una recta se denota designando dos de sus puntos con letras mayúsculas, o bien mediante una letra minúscula cerca de ella.  

 

Mediana: La mediana es el segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto que se conoce como baricentro o centro de gravedad. Las medianas se cortan siempre en un punto interior al triángulo.  

 

Mediatriz: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.

 

Plano: Es un concepto geométrico no definido. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Generalmente se designa con una sola letra mayúscula, a la cual puede preceder la palabra plano o tres de sus puntos no alineados.  

 

Punto: El punto es el primer elemento que no está definido en geometría, carece de dimensiones: longitud, anchura y espesor. Se representa gráficamente por un pequeño circulo y una letra mayúscula que lo identifica. Por ejemplo punto A y punto B.  

 

Ortocentro: Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo. El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo.

  

 Reducción de problemas de geometría 

Hoy vamos a ver cómo solucionar dos problemas que prácticamente son el mismo:

1. Encuentra una circunferencia tangente a la recta r que pase por dos puntos A y B.

        

Trazamos una recta que une los dos puntos A y B, y corta la recta en el punto P. 

Hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde p hasta una circunferencia auxiliar que pase por los dos puntos del enunciado. Para ello trazaremos la mediatriz del segmento que los une y desde el punto medio trazaremos dicha circunferencia auxiliar. 

Trazamos la mediatriz entre P y la circunferencia auxiliar y desde dicha mediatriz M trazamos un arco de radio MP que corta a la circunferencia auxiliar en los puntos P1 y P2. 

Con centro en P y y radio P1 o P2 trazamos una circunferencia. Donde se corta la recta del enunciado levantamos perpendiculares. 

Donde estas cortan a la mediatriz del segmento que une a los puntos del enunciado se encuentran los centros O1 y O2 de las dos soluciones. 

Ya tenemos los dos centros y los dos puntos de tangencia necesarios para trazar las soluciones. 

2. Encuentra una circunferencia que pase por un punto P y sea tangente a dos rectas f y g.

         

Trazamos la bisectriz de las dos rectas y desde el punto P. 

 

Dibujamos una recta perpendicular a la bisectriz, y trazamos la circunferencia auxiliar con radio OP.  

Vamos a ver si a partir de aquí podéis seguir con la resolución del problema 2, teniendo en cuenta la solución 1. 

¿Cuáles son los cuatro puntos notables de un triangulo?

 

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. ¿Y cuáles son sus puntos notables?

Baricentro: El punto donde se cortan las medianas de un triángulo.

Ortocentro: El punto donde se cortan las alturas de un triángulo.

Circuncentro: El punto donde se cortan las mediatrices de los lados de un triangulo.

Incentro: El punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos de un triángulo.

El baricentro, ese gran desconocido

El Baricentro es el punto medio en el que se cortan las tres medianas del triángulo. En términos físicos, el Baricentro es el centro de gravedad del triángulo, es decir el punto de aplicación de su peso. Por ejemplo, si se lograra materializar un triángulo en una figura plana, y esta se colocara en un punto de alfiler, para que esta figura permaneciera en equilibrio, entonces debería ser colocado o apoyado sobre su Baricentro, o punto de coincidencia de las medianas, puesto que por ser este precisamente el punto de gravedad de la figura, su punto de peso se apoyaría en el alfiler haciendo que el triángulo permaneciera en equilibrio.

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Me gustaría daros la bienvenida a este blog educativo, que se encuentra en una fase de continua construcción. Sin embargo, espero que esta iniciativa vaya fortaleciéndose a medida que se nutra con más y mejores contenidos.

En este espacio intentaré poner mi grano de arena, adjuntando material, recursos, artículos, enlaces  y reflexiones que puedan servir a cualquier persona interesada en la expresión gráfica. Es una aportación modesta, pero se basa en mi experiencia personal y a lo mejor pudieran ser de utilidad.

"No podéis preparar a vuestros alumnos para que construyan mañana el mundo de sus sueños, si vosotros ya no creéis en esos sueños; no podéis prepararlos para la vida, si no creéis en ella; no podríais mostrar el camino, si os habéis sentado, cansados y desalentados en la encrucijada de los caminos." Celestin Freinet