Determinación del inverso de un punto. Estudio de construcciones.

Se da un cuadrado ABCD en el que A es el centro de inversión y el C es un punto doble. Determinar el inverso del punto B mediante tres construcciones diferentes. Analizar los conceptos usados en cada construcción geométrica propuesta. 

Usaremos tres conceptos anteriormente vistos para nuestras construcciones: 

 

1. Arco capaz 90o

2. Teorema del cateto

3. Concepto de la potencia

Solución 1

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

ARCO CAPAZ 90o:

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AC´ bajo 90o . Conocidos dos puntos de la circunferencia, A y C, tenemos una cuerda cuya mediatriz corta el diámetro en el centro (en este caso coincidente con B).

Solución 2

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

TEOREMA DEL CATETO:

En el triángulo rectángulo ACB´ se cumple que el cateto AC es media proporcional entre la hipotenusa AB´ y la proyección AB del cateto AC sobre ella.

Solución 3

CPD:

Circunferencia de autoinversión de puntos dobles con centro A y radio AC, siendo C un punto doble (C=C´).

POTENCIA:

Producto de la menor por la mayor distancia de un punto a la circunferencia, lo que es igual al cuadrado del segmento de tangencia del punto a la circunferencia. Considerando el punto B´ buscado y la circunferencia CPD de autoinversión, la potencia es B´C2=BC x BC´. Considerando el punto A y la circunferencia de inversión dada por los tres puntos A, B, C, la potencia es AC2=AB x AB´ (cierto por el teorema del cateto).

¿Crees que hay mas soluciones de este problema?